线性代数基础操作

学习目标

• 掌握矩阵乘法的三种写法（dot、matmul、@）
• 了解逆矩阵、行列式、特征值的含义和计算
• 学会用 numpy.linalg 模块进行线性代数运算
• 理解线性代数在 AI 中的重要性

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为什么要学线性代数？

你可能觉得"线性代数"听起来很数学、很抽象。但在 AI 领域，它是最核心的数学基础：

AI 场景	线性代数的角色
神经网络	每一层的运算就是矩阵乘法
推荐系统	用户-商品矩阵分解
图像处理	一张图片就是一个矩阵
词向量	每个词是一个向量，相似度 = 点积
降维	PCA 就是求特征值和特征向量

现在先用 NumPy 操作一下这些概念，建立直觉。第三阶段（AI 数学基础）会更深入地讲解原理。

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矩阵乘法

元素乘法 vs 矩阵乘法

这是新手最容易搞混的地方：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 元素乘法（逐位相乘）
print(A * B)
# [[ 5 12]
#  [21 32]]
# 计算过程：1×5=5, 2×6=12, 3×7=21, 4×8=32

# 矩阵乘法
print(A @ B)
# [[19 22]
#  [43 50]]
# 计算过程：
# [1×5+2×7, 1×6+2×8]   = [19, 22]
# [3×5+4×7, 3×6+4×8]   = [43, 50]

矩阵乘法的三种写法

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 方法 1：@ 运算符（推荐，最简洁）
C1 = A @ B

# 方法 2：np.matmul
C2 = np.matmul(A, B)

# 方法 3：np.dot
C3 = np.dot(A, B)

# 三种方法结果完全一样
print(np.array_equal(C1, C2))  # True
print(np.array_equal(C2, C3))  # True

推荐使用 @

在 Python 3.5+ 中，@ 运算符是最推荐的矩阵乘法写法，简洁直观。

矩阵乘法的规则

两个矩阵能相乘的条件：前面的列数 = 后面的行数。

# (2, 3) @ (3, 4) → (2, 4)  ✅ 3 == 3
A = np.ones((2, 3))
B = np.ones((3, 4))
C = A @ B
print(C.shape)   # (2, 4)

# (2, 3) @ (2, 4) → ❌ 报错！3 ≠ 2
# A = np.ones((2, 3))
# B = np.ones((2, 4))
# C = A @ B  # ValueError!

记忆口诀：(m, n) @ (n, p) → (m, p)

向量点积

一维数组的 @ 或 np.dot 计算的是点积（内积）：

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

# 点积 = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32
print(a @ b)        # 32
print(np.dot(a, b)) # 32

点积在 AI 中非常重要——后面学到余弦相似度和注意力机制时都会用到。

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numpy.linalg 模块

NumPy 的 linalg 子模块提供了完整的线性代数功能：

逆矩阵

矩阵的逆满足 A × A⁻¹ = 单位矩阵：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 求逆矩阵
A_inv = np.linalg.inv(A)
print(A_inv)
# [[-2.   1. ]
#  [ 1.5 -0.5]]

# 验证：A × A_inv ≈ 单位矩阵
print(A @ A_inv)
# [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
#  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
# 对角线是 1，其余接近 0（浮点精度误差）

不是所有矩阵都有逆

只有方阵（行数=列数）且行列式不为 0 的矩阵才有逆。

# 奇异矩阵（行列式为 0）没有逆
singular = np.array([[1, 2], [2, 4]])  # 第二行是第一行的 2 倍
# np.linalg.inv(singular)  # LinAlgError: Singular matrix

行列式

行列式是一个标量值，表示矩阵的"缩放因子"：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
det = np.linalg.det(A)
print(f"行列式: {det:.1f}")   # -2.0

# 2×2 矩阵的行列式 = ad - bc
# [[a, b], [c, d]] → 1×4 - 2×3 = -2

特征值和特征向量

特征值和特征向量是矩阵的"DNA"——揭示矩阵的内在性质：

A = np.array([[4, 2], [1, 3]])

# 求特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print(f"特征值: {eigenvalues}")      # [5. 2.]
print(f"特征向量:\n{eigenvectors}")
# [[ 0.894 -0.707]
#  [ 0.447  0.707]]

特征值的直觉

如果把矩阵想象成一种"变换"（比如旋转、拉伸），那么：

• 特征向量 = 变换后方向不变的向量
• 特征值 = 该方向上被拉伸的倍数

这个概念在后面学 PCA 降维时会非常有用——PCA 本质上就是找到数据"变化最大"的方向（最大特征值对应的特征向量）。

解线性方程组

解方程：
2x + y = 5
x + 3y = 7

用矩阵形式：Ax = b

A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([5, 7])

# 解方程
x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"x = {x[0]:.2f}, y = {x[1]:.2f}")  # x = 1.60, y = 1.80

# 验证
print(A @ x)   # [5. 7.]  ← 等于 b，说明解正确

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其他实用操作

范数（向量的长度）

v = np.array([3, 4])

# L2 范数（欧几里得距离）
l2 = np.linalg.norm(v)
print(f"L2 范数: {l2}")   # 5.0  (3² + 4² = 25, √25 = 5)

# L1 范数（绝对值之和）
l1 = np.linalg.norm(v, ord=1)
print(f"L1 范数: {l1}")   # 7.0  (|3| + |4| = 7)

# 矩阵的范数
M = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(f"矩阵 Frobenius 范数: {np.linalg.norm(M):.2f}")  # 5.48

矩阵的秩

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
rank = np.linalg.matrix_rank(A)
print(f"矩阵的秩: {rank}")  # 2（不是满秩，因为第三行 = 第一行×(-1) + 第二行×2）

常用函数速查

函数	作用	示例
A @ B	矩阵乘法	np.array([[1,2],[3,4]]) @ np.eye(2)
np.linalg.inv(A)	逆矩阵
np.linalg.det(A)	行列式
np.linalg.eig(A)	特征值和特征向量
np.linalg.solve(A, b)	解方程 Ax=b
np.linalg.norm(v)	范数
np.linalg.matrix_rank(A)	矩阵的秩
A.T	转置
np.trace(A)	迹（对角线之和）

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实战：计算余弦相似度

余弦相似度是 AI 中衡量两个向量"相似程度"的常用方法。后面在词向量、推荐系统、RAG 中都会反复使用。

公式：cos(θ) = (a · b) / (||a|| × ||b||)

import numpy as np

def cosine_similarity(a, b):
    """计算两个向量的余弦相似度"""
    dot_product = a @ b                         # 点积
    norm_a = np.linalg.norm(a)                  # a 的长度
    norm_b = np.linalg.norm(b)                  # b 的长度
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

# 示例：比较用户兴趣
# 维度代表：[科技, 体育, 音乐, 电影, 美食]
user_a = np.array([5, 1, 3, 4, 2])   # 喜欢科技和电影
user_b = np.array([4, 2, 3, 5, 1])   # 也喜欢科技和电影
user_c = np.array([1, 5, 2, 1, 4])   # 喜欢体育和美食

print(f"A 和 B 的相似度: {cosine_similarity(user_a, user_b):.4f}")  # 0.9631 很相似
print(f"A 和 C 的相似度: {cosine_similarity(user_a, user_c):.4f}")  # 0.5528 不太像
print(f"B 和 C 的相似度: {cosine_similarity(user_b, user_c):.4f}")  # 0.5025 不太像

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小结

概念	说明	NumPy 函数
矩阵乘法	(m,n) @ (n,p) → (m,p)	A @ B 或 np.matmul
逆矩阵	A × A⁻¹ = I	np.linalg.inv()
行列式	矩阵的缩放因子	np.linalg.det()
特征值/向量	矩阵的"DNA"	np.linalg.eig()
解方程	解 Ax = b	np.linalg.solve()
范数	向量的长度	np.linalg.norm()

学到什么程度就够？

在本阶段，你只需要：

1. 会用 NumPy 的线性代数函数
2. 知道矩阵乘法、逆矩阵、特征值大概是什么意思
3. 能算余弦相似度

深入的数学理解会在第三阶段（AI 数学基础）中系统学习。现在先建立代码直觉就好。

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动手练习

练习 1：矩阵乘法

# 某商店 3 种商品的单价
prices = np.array([10, 25, 8])   # [苹果, 牛排, 面包]

# 3 位顾客的购买数量
quantities = np.array([
    [3, 1, 2],    # 顾客 1: 3苹果 + 1牛排 + 2面包
    [0, 2, 5],    # 顾客 2
    [5, 0, 3]     # 顾客 3
])

# 用矩阵乘法计算每位顾客的消费总额
# totals = ?

练习 2：解方程

# 解方程组：
# 3x + 2y - z = 1
# x - y + 2z = 5
# 2x + 3y - z = 0
#
# 提示：写成 Ax = b 的形式

练习 3：余弦相似度应用

# 假设有 5 部电影的特征向量
# 维度代表：[动作, 喜剧, 爱情, 科幻, 恐怖]
movies = {
    "复仇者联盟": np.array([5, 2, 1, 4, 0]),
    "泰囧":       np.array([1, 5, 2, 0, 0]),
    "泰坦尼克号": np.array([1, 0, 5, 0, 1]),
    "星际穿越":   np.array([3, 0, 2, 5, 0]),
    "釜山行":     np.array([4, 0, 1, 1, 5]),
}

# 用余弦相似度找出和"复仇者联盟"最相似的电影
# 提示：计算"复仇者联盟"和其他每部电影的余弦相似度